从欧几里得算法到连分数,掌控数学的精华,理解数字的奥秘

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摘要算术的基本定理是人们在很远的古代就已经知道的。通常的证明是依靠所谓欧几里得算法(The Euclidean Algorithm)来构造出两个正整数m和n的最大公因数(以下简记为hc...

算术的基本定理是人们在很远的古代就已经知道的。通常的证明是依托所谓欧几里得算法(The Euclidean Algorithm)来构造出两个正整数m以及n的最大公因数(下列简记为hcd),设为h。欧几里得算法在做这件事情的时候是证明了h可以写成am+bn的情势,这里a,b是一对整数(不一定为正整数,乃至可以为0)。例如,17以及7的hcd是1,咱们可以把1写成1=5×17-12×7。

欧几里得算法是这样执行的,设m>n,先用n去除了m,得出商为q1而余数为r1,所以文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

方程式(1)文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

现在0≤r1<n,所以又可以用r1去除了n,得到第二个商以及余数:文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

方程式(2)文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

可以这样做下去:用r2去除了r1,用r3去除了r2等等,余数每一一次都会变小,然而由于它不会是负数,所以到了某一步余数就会变为0,就是除了尽了。例如,如果m=165,n=70,这个算法就会给出一系列除了法如下:文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

这个进程保证了最后一个非零的余数就是m以及n的hcd。现在它等于5。其理由如下:一方面,式20=4*5+0说明了5是前一个余数20的因数,再往上看式25=1*20+5,又说明5也是25的因数,由于25是表示为20以及5的组合。这样一直往上看,这个算法告知咱们5同时是m=165以及n=70的因数,所以5是它们的公因数。文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

另外一方面,25=1*20+5说明5可以写成25以及20的组合,而且系数是整数。再往上看70=2*25+20,20又可以写成70以及25的组合,所以5也能够写成70以及25的组合文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

仿此倒推这个算法,可以把5用165以及70表示为文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

这就说明5是165以及70的最大公因数,由于由上式可知165以及70的任意的公因数都必定是3×165-7×70的因数,即5的因数。沿着这样的道路,咱们已经证明了最大公因数一定可以用两个原来的数m以及n来表示文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

用连分数表示数文章源自微观生活(93wg.com)微观生活-https://93wg.com/15015.html

在欧几里得之后的1500年间,伊斯兰以及印度学派的数学家们认识到,欧几里得算法对于一对整数m以及n的执行进程可以用m/n的一个公式来记。方程式(1)可以写为

这里F=n/r1。现在(2)式又把F写成

再往下一步就会给出r1/r2的一个表达式,把它表示为一个整数(就是商)以及一个真分数(后一个余数与前一个余数之比)的以及。仿此以往,如果这个算法在第k步停了下来,咱们就把这些表达式放在一块儿,得到m/n的连分数表达式:

例如

连分数也能够直接从分数165/70=2.35714…做出来,而无须用到两个整数165以及70。实际上,取这个数的整数部份2,这就是前面的q1,再把余下的小数部份取,其倒数1/0.35714…= 2.8,又取其整数部份2,就得到前面的q2。余下的0.8倒数为1.25,所以q3=1。最后1/0.25=4,所以q4=4。至此,余数为0,而运算休止。

17世纪的数学家沃利斯(John Wallis)似乎是第一个给出了连分数的系统讨论的数学家,而且似乎是第一个认识到,不但是有理数,而且是所有实数都有连分数开展式存在的人,只要咱们承认连分数可以有没有限多层。如果从任意正数开始,均可以像对付比值2.35714….同样地构造出连分数来。

例如对于数π= 3.14159265…,先取3,再把余下的部份取倒数:1/0.14159…=7.06251….这样对于π第二个商是7。继续这样做下去,就得到连分数

方程式(3)

呈现在分数里的3,7,15等就叫做π的部份商。

实数的连分数表达式可以用来求此实数的有理数近似,如果把这个连分数在有限步之后就截断,就会得到一个有限的连分数。它是一个有理数。例如,把(3)式在第一层就截断,就会得到咱们熟知的π的近似值:

在第二层截断又会得到π的另外一个近似值:3+1/(7+1/15)=333/106。在不同的层截断就会得出一个有理迫临序列,它的前一部份是

不论从哪个正实数x开始,它的连分数迫临的序列当沿连分数的各层向下走的时候都将趋近x。事实上,等式(3)的情势解释就是说,它的不同层面的截断会趋近π。

很自然地,想要得到数x的更好的近似,就应当用“更繁杂”的分数——就是拥有更大的份子以及分母的分数。x的连分数迫临在下面的意义上是最佳的迫临:若p/q是这个连分数的一个截断,则不可能找到分母小于q的分数r/s与x更为接近。

进一步说,如果p/q是来自连分数的对x的迫临,则

相对于于分母q不能太大。具体说来,恒有

这个误差估量说明了连分数近似是多么尤其,如果想也不想地取一个分母q,然后又想也不想地取一个份子p并且但愿用p/q去迫临x,那么只能保证x位于

式(4)

之间,所以误差可能到达1/2q,而当q很大时,这可比1/q^2大多了。

有时,x的连分数近似的误差比(4)式所保证的还要小,即如通过对(3)式作截断所得到的近似π≈335/113就尤其精确。缘由在于下一个部份商292很大,所以略去尾巴

其实不会造成大的扭转。在这个意义下,最难用连分数去迫临的数是部份商最小的数也就是所有部份商都等于1的数。这个数

式(5)

很容易计算,由于其部份商序列是周期的。若记此数为Φ,则

而它的倒数就是(5)式的连分数Φ。所以

也就是

这个二次方程式的两个根是(1+√5)/2 = 1.518…以及(1-√5)/2=-0.618….由于咱们想要找的数φ是正的,所以它就是第一个根,就是常说的黄金比。

很容易看到,正如(5)表示的是正根,其他的周期连分数也表示某个二次方程式的根。这件事,似乎在16世纪就已为人所理解了。然而要想证明其逆可就难多了,任意二次根的连分数必为周期的。直到18世纪拉格朗日才证明了它,而这与二次数域有单位元存在有亲密的关系。

用连分数表示函数

数学最重要的函数中有几个用无限以及来表示最为容易。例如,指数函数就有下列的无限级数表示:

然而也有几个有简单的连分数表示,就是用含有变量如x的连分数来表示,从历史上来讲,这些多是最重要的连分数。

例如,函数tanx就有下列的连分数表示:

它对除了了π/2的奇数倍之外的x都合用,在这些点处正切函数有垂直的渐近线。

一个函数的无限级数表示可以提供这个函数的多项式迫临,而连分数在截断后则提供了这个函数的有理函数迫临。例如,如果把正切函数的连分数表示在第一层截断,就会得到下列近似

这个连分数表示和它在截断之后迫临tanx的速度在证明为无理上起着中心的作用。这个证明是由兰伯特 (Johann HeinrichLambert)在 1760年代给出的。他用连分数证明了若x是除了0之外的有理数,则 tanx不是。然而 tanπ/4=1确定是有理数,所以π/4不多是有理数。

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